数学概念学习的疑难问题与策略分析

数学概念是学生数学学习过程中的一个重要内容，它是反映现实世界中空间形式和数量关系的本质属性的思维形式.正确理解数学概念是学生掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则的基础，也是学生提高解题能力的关键. 初中数学教学中，一些教师对概念的教学往往“视而不见”，他们更多地关注学生运用概念的能力，而不是帮助学生建构、理解概念.这种轻视概念教学、通过反复练习来巩固概念的做法，直接导致学生对数学概念的模糊认识和机械理解，更谈不上提升学生的数学素养.任何数学概念都有它产生的背景，要让学生正确理解概念，就要让学生知道其产生的背景，通过实例分析概念的本质属性，让学生学会概括、理解概念的内涵与外延，从而进一步巩固和应用概念.本文以数与式的教学为例，从学生学习角度分析学习数学概念时出现的一些疑难问题以及应对策略. 疑难分析 案例1“实数”教学片段 上课一开始，教师就给出无理数的概念：我们把无限不循环小数称为无理数，把有理数和无理数统称为实数.实数可以这样划分： 接着举了大量的数，让学生判断是什么数…… 这样的安排看起来似乎省了很多时间，但学生的情况又怎样呢？学生对无理数概念的理解还是只停留在表面，缺乏深入的了解，因此学生有很多疑问：有理数和无理数的存在形式是怎样的？它们之间有什么差异与联系？从什么角度对数进行分类？怎样分类才能做到不重复、不遗漏？为什么要学习无理数？为什么要扩充数系？…… 学生对实数概念的把握不到位，与教师的教法固然有关，但也与学生本身的基础知识、学习方法有关，因为它会直接影响学生对概念的理解和运用，也会影响他们思维能力的发展，甚至会表现出思路闭塞、逻辑紊乱的情况. 学生为什么会对无理数概念的理解似是而非，抓不住本质？ 首先，这是由学生学习数学概念的特点所决定的.初中生认识事物还带有很大的形象性，善于进行形象思维，而不善于抽象思维，他们常常被一些非本质的表面现象所吸引.有些学生习惯用机械背诵的方法来记忆概念，导致不会灵活、准确地运用.做习题时，他们只能依样画葫芦，遇到问题的条件或形式稍有变化，就束手无策，因此，在概念教学中，教师应注意发挥学生的智力因素，培养学生自己去获取知识的能力. 其次，教师不重视概念教学，分不清主次或要求不当也是造成学生概念学习困难的一个原因.如一些教师未认识到概念教学的重要性，他们对概念的讲解往往是蜻蜓点水，一带而过，而将精力花费在定理、法则的推导与应用上，这完全是本末倒置、事倍功半的做法.也有教师只给出概念的描述（定义），而不去揭示概念的科学内涵，这种教法既缺乏对数学概念知识本身的科学了解，又缺乏对概念教学应有技能的训练.还有的教师对概念教学分不清主次，眉毛、胡子一把抓，平均使用力量，讲解得很吃力，效果却不好，让学生感到乏味.另外，也有教师对概念的教学要求把握不当，对所有的概念都要求学生理解、记忆、比较.对此，曾有位数学大师说过：“要我准确回答什么是等式，什么是方程，什么是坐标系等，也确实有一定的困难.”对一些次要概念，在不影响学习的情况下可适当“弱化”.适当淡化次要概念是现代教学的一种趋势，但要把握好“度”. 解决策略 案例2“实数”教学片段 1.创设情境 师：勾股定理是数学宝库中的一个重要定理，在生产实践中有很重要的作用，它还构筑了数学天空的一道彩虹，请同学们欣赏（投影，如图1）.本节课，让我们一起透过这道美丽的彩虹，共同发现它所蕴含的数学内容. 图1 如图1，在Rt△AOB中，如果AO= BO=1，那么AB等于多少？ 生1： 师：你对有哪些认识？ 生1：是一个正数，用刻度尺量，可知约等于1.4.在直角三角形中，斜边大于直角边，所以大于1，又两边之和大于第三边，所以小于2…… 师：说得非常好！请同学们想一下，目前我们所学的数叫什么数？它包括哪些数？ 生2：有理数，它包括整数和分数. 师：是有理数吗？这就是本节课我们要学习的内容.（板书课题） 2.新课讲授 探索活动1：讨论是不是整数 师：是整数吗？ 生3：不是. 师：为什么？ 生3：因为大于1、小于2，在1和2之间没有整数. 师：很好！ 【板书：因为12=1，（）2=2，22=4，所以1＜＜2.】 探索活动2：讨论是不是分数 师：那么，是一个分数吗？面对这个问题，我们该如何解决呢？请同学们分组讨论. （小组讨论，教师巡视） 师：现在我们来听听各小组的讨论结果. 生4：不是分数. 师：你们是怎么得出这个结论的？ 生4：因为在1和2之间找不到一个分数的平方等于2！ 师：你们计算过哪些分数的平方？ 生4：因为介于1和2之间，并且约等于1.4，所以我们算了等分数的平方. 师：这几个分数的平方分别等于多少？ 生4：（板书） 师：好！其他小组的意见呢？ 生（齐）：对！ 师：如果以每人两个分数计算，我们全班最多计算了80个分数，而1～2之间有无数个分数，为此我们并不能断定不是分数. 师：我们换个角度看分数的平方.如，其中2和3没有约数，那么仍然没有约数，所以还是分数. 探索活动3：探讨到底有多大 师：到底有多大呢？请同学们根据前面的结果，分组讨论，精确地估计的范围. （小组讨论，教师巡视） 师：现在，我们来交流一下每组讨论的结果. 生5：因为（1.4）2=1.96，（1.5）2=2.25，所以1.4＜＜1.5；因为1.412= 1.9881，1.422=2.0164，所以1.41＜＜1.42；因为1.4142=1.，1.4152= 2.002225，所以1.414＜＜1.415. 师：其实结果还可以保留到小数点后4位或5位，甚至更多.人们经过不断探索、证明，得出≈1.…（投影） 3.归纳结论 师：是一个无限不循环小数，我们称这样的数是无理数.我们把有理数和无理数统称为实数，也就是实数可以这样划分—— 师：你能举一些无理数的例子吗？ 生6： 师：圆周率π是无理数吗？ 生6：是，因为它是无限不循环小数. 师：我们知道，数轴是研究数的一个有效工具，你能用数轴上的点表示吗？ 生6：能.（示范） 师：再看彩虹图，在这张图上除了有外还有哪些数？ 师：我们可以借助勾股定理找到长为…的线段，再用生6的方法表示在数轴上，这说明每一个实数都可以用数轴上的点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，我们称实数与数轴上的点一一对应. 本节课从对的认识开始展开教学，通过学生自主探索、合作交流，得出不是一个有理数，进而引入一个新的概念——无理数，完成了对数的又一次扩充，接着进行实数的分类.紧接着，让学生认识常见的几种无理数.这样的安排，符合学生的认知规律，能使学生深刻理解概念，体会无理数是实实在在存在的数.通过让学生参与无理数概念的建立、发现数系扩充必要性的过程，以及学生互相讨论和交流，可以让学生深刻体验知识之间的内在联系，初步形成对实数系整体性的认识.这样的学习过程能促进学生对数学的学习兴趣，能培养学生发现问题的能力，同时能让学生感受到通过自己的努力获得成功的喜悦，能增强学生学好数学的信心. 生7： 概念教学策略 概念作为一种思维形式，是现实世界空间形式和数量关系及其特征在思维中的反映，是判断和推理的基础，也是培养学生逻辑思维能力的必要条件.一切分析、推理、想象都要依据概念和运用概念.概念是思维的细胞，是思维的出发点，荀子语：“源清则流清，源浊则流浊.”学生只有理解了概念，才能掌握数学规律，才能灵活地运用知识和技能正确地进行判断、推理、运算.加强概念的教学，既可使学生加强对数学理论知识的理解，又可以培养他们对数学文本阅读能力和自觉钻研的精神. 数学概念教学的基本要求是揭示概念的内涵与外延，使学生深刻理解概念，牢固掌握概念，灵活运用概念，即达到理解、巩固、系统、会用的目的.根据初中生的年龄特点，在数与式的概念教学中，宜采用以下一些方法. 1.联系实际，自然引入概念 概念是比较抽象的知识，因此在引入新的数学概念时，要根据学生实际，考虑其接受能力，从具体到抽象、从简单到复杂引入概念.如教学“正数与负数”时，可以这样进行： （1）创设情境，激发好奇 课件展示：珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地，由同学感受高于水平面和低于水平面的不同情况. 欢迎同学们成为初一年级的一名学生，从今天开始，老师将带领大家开始神奇的数学之旅.在我们的这个教室中就有许多数学的应用，我们在一个长约为10米、宽约为6米的教室里学习，多数同学都是13岁，我们班共49人，约占全年级学生人数的12.2%，我们的讲台宽0.8米、长1.2米…… 问题1：老师刚才的描述中出现了你所熟悉的哪几类数字？你能将以前所学的数字进行分类吗？（学生交流后回答） 以前我们学过的数，实际上主要有两类，分别是整数和分数（包括小数）. 问题2：那么，在实际生活中，仅有整数和分数够用吗？你能举例说明吗？ （2）合作交流，探究新知 某市某一天的最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃.要表示这两个温度，如果只用小学学过的数，都记作5℃，就不能把它们区别清楚，这两个量表示的意义正好相反. 现实生活中，像这样表示相反意义的量还有很多. 例如，前面展示的珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的.某仓库昨天运进货物2吨，今天运出货物5吨，“运进”和“运出”，其意义是相反的.汽车向东行驶50米和向西行驶120米，“向东”和“向西”的意义是相反的. 想一想：以上都是一些具有相反意义的量，你能用小学算术中的数表示出每一对量吗？你能再举一些日常生活中具有相反意义的量吗？该如何表示它们呢？ 为了用数表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量，如零上温度、前进、收入、上升、高出等规定为正，而把与它相反的量，如零下温度、后退、支出、下降、低于等规定为负.正的量用算术里学过的数或在学过的数前面加“+”（读作正）号表示，负的量用学过的数前面加上“-”（读作负）号来表示（零除外）. 活动：每组同学相互合作交流，一个同学任意说出有关相反意义的两个量，由其他同学用正负数表示. 讨论：什么样的数是负数？什么样的数是正数？0是正数还是负数？自己列举正数、负数. 总结：正数是大于0的数，负数是在正数前面加“-”号的数，0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界.零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量.并指出：正数、负数中的“+”“-”号是表示性质相反的量，符号写在数字前面. 本节课从学生身边熟悉的数据入手，回顾小学里学过的数的类型.通过举例我们发现生活中具有相反意义的量，说明了引入负数的必要性；现实生活中的实际问题让学生体会到了负数的应用，以及正数和负数具有表示相反意义的量的作用；通过举例得出了正整数、负整数、正分数、负分数的定义；通过练习、讨论，明确了0的归属（0即不是正数，也不是负数）. 2.类比分析，快速接受概念 在数学概念教学中，运用类比的方法对概念进行辨析，前后知识点互相对应，温故而知新，这对学生理解概念大有裨益.同时，也有助于加强概念之间的联系，有助于对概念的理解、记忆，能增强思维的灵活性. 数学中的许多概念有本质不同的一面，又有内在联系的一面，学习时，如果只注意某一概念本身，忽视不同概念之间的区别，那么就会对概念的掌握停留在肤浅的表面.因此，我们可采用类比法区别异同.通过比较，可排除那些与概念中描述无关或相异的性质，突出概念的本质属性.同时，通过类比可以发现新、旧知识之间的相同点，利用已有知识认识新知识.例如，学习分式的概念时，可通过与分数类比来学习.总之，抓住新、旧知识的本质联系，有目的、有计划地让学生将有关新、旧知识进行类比，就能很快得出新、旧知识在某些属性上的相同或相似的结构，从而引进概念. 因此，采用类比法学习概念，学生能发现类比对象与学习内容之间的共性、差异和特殊性，能启发学生的思维，能加深学生对概念的理解和掌握. 3.知识重组，加深概念理解 在一些课堂教学中经常可以看到教师为了某个概念反复地讲，逐字逐句地推敲，又是画圈，又是画线，而学生在这个概念上还是一错再错，即使课堂上把概念讲清了，学生理解了，但时间一长，学生又遗忘了.究其原因，就是学生没有加强新、旧知识之间的联系，学生头脑中没有一个对新知识进行重组和改造的过程. 任何一个概念都不是孤立的，它总处在与其他概念的相互联系中.学生的学习都是通过概念同化习得新概念的.在学习复杂概念之前，一般先学习更简单的概念，把它作为新概念的先行组织者，联系学生已学过的有关概念来阐明新概念，这是一个重要的方法. 实践表明，用先前的一个概念推导出新的概念，这样既能使学生较好地理解新的概念，又能帮助学生树立起联系的思维方法，形成逻辑思维能力.把新概念与已有认知结构中的概念建立适当联系，同时新概念与有关概念进一步分化、融会贯通，能形成一个统一的整体.例如，学习“因式分解”时，可以对比整式乘法来学习，如单项式乘多项式、乘法公式等，由因式分解定义可知把整式乘法倒过来便可以得到因式分解.在因式分解的教学过程中，始终抓住这一实质，难点就可以迎刃而解了.同时还可以运用它们之间的这一关系检查因式分解的结果是否正确.因此，从数学概念之间的关系来学习概念，可深化对所学概念的认识. 4.变式训练，揭示概念内涵 经常有老师埋怨学生学得死，不会灵活运用，究其原因就是学生没有很好地把握概念的本质.数学概念往往都是从正面阐述的，这常会导致“满以为掌握了概念，但碰到具体的数学问题又难以做出正确判断”的情况.如果通过反例从反面或侧面去剖析，凸出事物中隐藏的本质，就可以深化对概念的理解. 例如，关于二次根式的概念，我们可以把式子（a≥0）叫做二次根式，对于（a≥0）的学习，可以举下面一些例子： （1）式子只有在条件a≥0时才叫二次根式，如式子就不是二次根式，但式子却又是二次根式. （2）是二次根式，虽然= 2，但2不是二次根式，因此二次根式指的是某种式子的“外部形态”. （3）当a为实数时都是二次根式，而都不是二次根式，这是因为a是实数时，并不能保证a+10，a2-1都是非负数，即a+10，a2-1可能是负数.如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜0.因此，不是二次根式. 在数学概念的形成过程中，正例变式有利于“丰富”概念，反例变式有利于“净化”概念，从而尽可能避免非本质属性泛化的错误，使数学概念的概括精确化，提高了概念教学的有效性.通过变式教学，可以使学生排除概念中的非本质特征，让学生能抓住本质特征.当然，在使用比较的方法进行教学时，必须在这个概念已经建立得比较清楚、牢固的基础上，再引入其他相关概念进行比较.也就是说，反例的运用是有时机的.一般来说，我们不能在学生刚刚接触概念时就运用反例，否则将有可能使错误概念先入为主，不仅不会加深学生对概念的理解，反而容易产生混淆现象. 因此，学习概念时，既要通过正例来揭示其本质，又要恰当地通过反例来排除非本质特征的干扰，还要交代规范的名称、符号、表示方法和概念间的关系等.只有这样，才能使学生明确概念的科学内涵. 5.语言表达，促进概念使用 语言表达是概念学习过程中非常重要的一个环节.数学中各种结论的获得都要依靠逻辑推理，而数学语言表达能力直接影响逻辑推理的进行，当然，也影响数学概念的形成.当一个概念（或定理）用符号提出时，它很容易被记住和使用，但不能明显地看出运用它的条件.有一些学生会认为：学习概念时，记忆符号比记忆语言容易一些.但这些学生很快就会发现，他们只会把新概念孤立地使用，时间一长就会忘掉已经记忆的大部分内容，而把新知识与以前记忆的数学结构混淆起来.例如，学习“绝对值”知识时，有的初学者在运用公式时，只会解决具体数的化简，而对于较抽象的字母问题，则常会犯这样的错误：∣a-1∣=a-1.这是因为，这样的学生只限于记住其符号表示形式.但如果理解其本质意义：一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0，那么他就应知道先判断a-1的符号，然后分a-1≥0和a-1＜0两种情况进行分类讨论.由此可看出，当一个学生善于将概念用语言准确表达出来时，他肯定会理解这个概念的意义，这样会促进他今后对这一概念的正确使用. 总之，在数学概念教学过程中，只要从教材和学生的实际出发，注重数学概念学习的策略，就一定能提高数学概念教学的效果，从而提高学生的思维水平.

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